Sei
C eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht 
, 
eine symplektische Basis der Homologie von C und 
die Basis der holomorphen Differentiale auf C, so daß die
Periodenmatrix
die Gestalt
hat. Rechts sehen Sie ein topologisches Modell einer Riemannschen Fläche
C. Die Basis der Homologie ist farbig eingezeichnet. Sei 
das Periodengitter und
die zugehörige Riemannsche Theta-Funktion. Nach dem Satz von Torelli ist durch den Theta-Divisor
in der Jacobischen die Riemannsche Fläche C eindeutig bestimmt.
Für Riemannsche Flächen vom Geschlecht 
und Clifford-Index 
genügt sogar schon die Potenzreihenentwicklung bis zur Ordnung
3:
in einem ``allgemeinen'' Punkt 
der Multiplizität 2, um die Riemannsche Fläche zu rekonstruieren.
Nach dem Riemann-Kempfschen Singularitätensatz ist 
eine Quadrik vom Rang 4, deren singulärer Ort in der Kubik 
enthalten ist. Es liegt also nahe, den projektiven Tangentialkegel 
und den oskulierenden Kegel 
von 
in 
vermöge der Projektion von 
zu studieren:
Die Normalisierung der Diskriminante C' des Quadriken-Bündels
in dem 
-Bündel 
ist die Riemannsche Fläche C!
Die Graphik zeigt
einen Ausschnitt von reellen Punkten der Projektion im Fall g=7. Über
allgemeinen Punkten von liegt ein einschaliges bzw. zweischaliges Hyperboloid.
Über glatten Punkten von C' ein quadratischer Kegel, über
den Doppelpunkten von C' ein Ebenen-Paar. Insgesamt ist also hier
S
ein 4-dimensionales Gebilde, welches über der Fläche in Quadriken
gefasert ist.
Das Bild zeigt allerdings nur die ``halbe'' Wahrheit. Genauso wie die reelle Achse in der komplexen Zahlenebene lediglich eine Kurve ist, bilden die reellen Punkte von C auf der Riemannschen Fläche lediglich eine Kurve. In Wahrheit ist also C' 2-dimensional und liegt in dem 4-dimensionalen Gebilde. S selbst ist in diesem Fall 8-dimensional, im allgemeinen 2(g-3)-dimensional. Um von diesen höher-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ein räumliches Gefühl zu entwickeln, braucht man Jahre der Übung. Die Aussage des Satzes kann man vielleicht im 5-ten Semester, den Beweis frühestens im 6-ten Semester verstehen.
Frank-Olaf Schreyer