Studienführer Mathematik der Universität Bayreuth
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Klassifikationstheorie kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten

Ein wichtiges Klassifikationsmerkmal ist die Krümmung. Die Zerlegungsformel
 
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beschreibt die Struktur kompakter Kählermannigfaltigkeiten, deren Ricci Krümmung semi-positiv ist; sie gibt an, wie die komplizierte Varietät X aufgebaut ist aus einfacheren Bestandteilen. Die Bestandteile tex2html_wrap_inline39 sind im wesentlichen sogenannte Fanomannigfaltigkeiten, (diese haben positive Ricci Krümmung); das prominenteste Beispiel sind die projektiven Räume tex2html_wrap_inline41, die man als komplexe Version unsere Erde ansehen kann. Die Bestandteile tex2html_wrap_inline43 sind sogenannte Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten, deren Ricci-Krümmung 0 ist; deren ausgezeichnete Metrik (die auch als Kähler-Einstein Metrik bezeichnet wird) wird durch die Monge-Ampère-Gleichungen
 
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beschrieben. Schliesslich sind die tex2html_wrap_inline47 Tori, die auch Ricci-Krümmung 0 haben, deren voller Krümmungstensor aber darüberhinaus 0 ist.

Es gibt auch algebraische Klassifikationsmerkmale, die leichter zu handhaben sind als Krümmungsbedingungen; die Begriffsbildungen sind aber abstrakter und weniger anschaulich.
 
Die Gaußsche Zahlenkugel tex2html_wrap_inline53: 
Tori 
 
Die Krümmung des projektiven Raums ist durch die Formel tex2html_wrap_inline55 beschrieben (mit lokaler Koordinate z).
werden durch die Gleichung tex2html_wrap_inline59 gegeben. Ein Torus der Dimension zwei ist ein "Rettungsring": 
 
 

Literatur: T.Peternell, Kähler manifolds with semipositive curvature, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag (1996).
 

Thomas Peternell

Stefan Kebekus
Tue Oct 7 15:37:10 CEST 1997