Studienführer Mathematik der Universität Bayreuth
Next: Diskrete Strukturen  Up:  Studienführer  Previous: Deformationen 

Lietheorie, homogene Räume,...

 
tex2html_wrap79
Abb. 1: Dynkin-Diagramme
Abb. 2: Wurzelsystem und Weylkammer der G_2
 

Homogene Räume sind Gebilde mit besonders viel Symmetrie. Einfache Beispiele in Abb. 3.
 

Abb.3: 2-Sphäre und Torus

Die komplizierteren homogenen Räume "passen" i.a. nicht mehr in den Anschauungsraum. Ein 3-dimensionales Beispiel ist der sog. Poincare-Raum, kurz PS genannt.

Wie man z.B. aus einem Rechteck durch Verkleben (Identifizieren) gegenüberliegender Kanten einen Torus bilden kann (Abb. 4),
 

Abb. 4: Verkleben eines Rechtecks zum Torus
 
so entsteht der Raum PS aus dem Dodekaeder (Abb. 5) durch Identifizieren der Paare gegenüberliegender Seitenflächen. (s. Abb. 6, wo drei dieser Seitenpaare mit jeweils gleicher Farbe ausgemalt sind).
 
 
tex2html_wrap83
tex2html_wrap81
Abb. 5: Das Dodekaeder (12 regelmäßige 5-Ecke als Seitenflächen, 30 Kanten, 20 Ecken)
Abb. 6: Vom Dodekaeder zum Poincare-Raum
 

Insgesamt werden die Kanten jeweils in 3er Gruppen (a.B. die a und die b in Abb. 6), die Ecken jeweils in 4er Gruppen identifiziert (z.B. die eingekreisten Ecken).

Mittels der Untergruppe tex2html_wrap87  von SU(2) (s. Abb. 7) kann man PS auf algebraische Weise (als Nebenklassenraum) definieren.
 
 

Abb. 7: Ein Teil des Untergruppenverbandes von SU(2)
 
 

 

Manfred Krämer

Stefan Kebekus

Thu Sep 18 17:26:41 CEST 1997