In einem Forschungsprojekt entwickeln wir zusammen mit der Siemens AG und der Zahnklinik der Universität München ein System, das die zerstörte Kauoberfläche eines Zahns automatisch rekonstruieren kann. Damit soll es ermöglicht werden, die Restauration innerhalb nur einer Zahnarztsitzung und vor allem ohne großen Konstruktionsaufwand durchzuführen. Meine Aufgabe innerhalb des Projekts besteht in der Entwicklung von Verfahren, die zu einer automatischen Konstruktion von Keramik-Paßkörpern für die zahnmedizinische Restauration von Zahndefekten führt. Dieser hohe Automatisierungsgrad kann den zahnmedizinischen Ansprüchen nur genügen, wenn der Konstruktionsmechanismus über zahnmedizinisches Expertenwissen verfügt. Im Rahmen des Projekts soll dieses Expertenwissen durch ein geeignetes Zahnmodell in einer intern gespeicherten Zahnbibliothek bereitgestellt werden. Ein Zahn wird dabei mittels seiner triangulisierten Oberfläche beschrieben. Hier können nun Erkenntnisse der theoretischen Mathematik einfließen: Gesucht wird eine Abbildung, die unter Erhaltung der Topologie das Zahnmodell in den aufgenommen defekten Zahn überführt.
Anschließend muß aus der Triangulation die Oberfläche berechnet werden. Bei der Verwendung von Tensorprodukt-Flächen wird gewöhnlich der R als Parameterraum verwendet. Damit ist es aber im allgemeinen nicht möglich, die Oberfläche eines Zahns darzustellen. Wir nutzen seine Isomorphie zur Sphäre und entwickeln einen Flächentyp, der die Sphäre als Parameterraum verwendet. So kann die Oberfläche jeder beliebigen Zahnform berechnet werden. Aus den Erkenntnissen der Mathematik läßt sich aber auch gleich folgern, welche Flächen auf diese Weise nicht mehr dargestellt werden können.
Anhand dieses Beispiels sieht man schön, wie mathematisches Wissen bei der Entwicklung sehr praktischer Dinge eingesetzt werden kann.