The aim of this talk is to define and analyze a set-valued version of the implicit Euler scheme for relaxed one-sided Lipschitz differential inclusions. It will be shown that the defining implicit inclusions have a well-defined solution. A convergence analysis based on stability theorems shows that the set-valued implicit Euler method inherits all favourable stability properties from the single-valued scheme. The impact of spatial discretization will be discussed, a fully discretized version of the scheme will be analyzed, and a numerical example will be given.

Dieser Vortrag behandelt ein Problem der optimalen Steuerung des klassischen Stefan Problems in zwei Phasen. Dieses Problem wird durch die Wärmeleitungsgleichung in einem festen Gebiet, unterteilt in eine flüssige und eine feste Phase, modelliert. Die Koeffizienten in dieser Gleichung sind typischerweise unstetig über die Phasengrenze. Die daraus resultierende Bewegung dieser Phasengrenze wird durch die sogenannte Stefan-Bedingung an die Wärmeleitungsgleichung gekoppelt. Das Ziel der optimalen Steuerung ist, einen gewünschten Verlauf der Phasengrenze nachzubilden. Der Temperaturfluss über den Rand des betrachteten Gebiets agiert dabei als Steuerung.

Nach einer kurzen Einführung in das Modell wird im ersten Teil des Vortrags mit Hilfe der formalen Lagrange-Technik und Ansätzen der Formoptimierung ein adjungiertes Gleichungssystem hergeleitet, mit dessen Lösung der Gradient des Zielfunktionals kompakt dargestellt und effizient berechnet werden kann. Die Diskretisierung des direkten und des adjunigerten Systems wird im zweiten Teil des Vortrags besprochen. Die Bewegung der Phasengrenze wird mit Level-Set-Techniken behandelt. Bei der Lösung der entsprechenden Hamilton-Jacobi-Gleichung kommt ein unstetiges Galerkin-Verfahren zum Einsatz. Darauf aufbauend wird die Temperatur in beiden Phasen mit der erweiterten Finite-Elemente-Methode (X-FEM) im Raum und mit dem impliziten Euler-Verfahren in der Zeit diskretisiert. Die Struktur des adjungierten Systems ist der des direkten Problems sehr ähnlich, die Diskretisierung erfolgt daher wieder mit Hilfe einer Kombination aus der erweiterten Finite-Elemente-Methode und einem unstetigen Galerkin-Verfahren. Im letzten Teil des Vortrags werden numerische Beispiele diskutiert, die einerseits Probleme beleuchten sollen, die im Rahmen der optimalen Steuerung des Stefan Problems auftreten können. Andererseits soll aber auch die Flexibilität des Level-Set-Zugangs (Behandlung geschlossener Phasengrenzen und topologischer Veränderungen) demonstriert werden.

Der Vortrag stellt verschiedene Subdifferentiale für DC-Funktionen (Differenzen konvexer Funktionen) vor und vergleicht diese anhand von einfachen Beispielen. Das Dini-Gâteaux-Subdifferential und das Michel-Penot-Subdifferential (small subdifferential) kann man für diese Funktionenklasse durch Differenzen konvexer Subdifferentiale beschreiben, während das bekannte Clarkesche Subdifferential auf Differenzen existierender Gradienten basiert. Eine gemeinsame Eigenschaft der Subdifferentiale ist ihre Konvexität.

Modernere Entwicklungen wie das Mordukhovich- oder Treiman-Subdifferential lassen zu, dass das Subdifferential eine nichtkonvexe Menge ist. Dies hat gegenüber konvexen Subdifferentialen den Vorteil, i.a. bessere Optimalitäatsbedingungen zu liefern.

Im Vortrag wird das Rubinov-Subdifferential eingeführt, das auf der Visualisierung der Differenz eingebetteter konvexer Subdifferentiale in dem Banachraum der gerichteten Mengen basiert. Die Rechenregeln für das gerichtete Subdifferential sind aufgrund der Einbettung in einem Banachraum sehr gut. Insbesondere ist die Summenregel für DC-Funktionen ohne weitere Regularitätsbedingungen mit Gleichheit erfüllt.

Die Visualisierung des gerichteten Subdifferentials zerfällt in drei Teile, den positiven Anteil (Dini-Gâteaux-Subdifferential), den negativen Anteil (Dini-Gâteaux-Superdifferential) und den gemischten (nichtkonvexen) Anteil, dessen konvexe Hülle mit dem Michel-Penot-Subdifferential übereinstimmt.

Bekannte notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen für ein Minimum/Maximum können mit dem positiven und negativen Anteil formuliert werden. Zudem bietet das gerichtete Subdifferential die einfache Erkennung von Abstiegsrichtungen für DC-Funktionen.

Eine Erweiterung des Ansatzes auf quasidifferenzierbare Funktionen ist möglich und bietet Rechenregeln für amenable und lower-C^k functions.